ПГАТИ – Кафедра Высшая математика – Учебное пособие. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Теорема 1. 7.(Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ). Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности числа a (a может равняться ∞), за исключением, быть может, числа a ; при этом g, g' не равны нулю в этой окрестности.
Кроме этого, пусть . Тогда, если Доказательство. Пусть a - конечное число. Если функции f,g непрерывны при x = a, то по условию теоремы f(a) = g(a) = 0. Если функции f,g не определены при x = a, то, в силу данные функции можно доопределить нулями.
Здесь рассмотрены способы раскрытия основных видов неопределенностей. Во второй части разбирается вычисление пределов с помощью правила Лопиталя (для работы с этой частью требуется умение дифференцировать функции). Перед вами примеры раскрытия всех неопределенностей : упрощение функций, пределы, правило Лопиталя, эквивалентные бесконечно малые функции и другие. Основные неопределенности и способы их раскрытия. Каждому виду неопределенности поставлен в соответствие метод ее раскрытия. применение правила Лопиталя; использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей. Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в . Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.. Раскрытие неопределенностей в пределах. Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя.
Возьмем число x > a так, чтобы функции f, g были непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, x], и g ' (x) ≠ 0 на (a, x]. По теореме Коши Так как f(a) = g(a) = 0, то имеем . Устремим x к a , тогда c также устремится к a, и. Для случая, когда a – конечное число, теорема доказана. Пусть теперь a = ∞.
Заменим x на t : x = 1/ t . В результате получим функции F(t) = f(1/t), G(t) = g(1/t) аргумента t. В окрестности t = 0 функции F, G удовлетворяют условиям теоремы, а из доказанного выше следует, что. Так как то получаем Теорема доказана. Теорема 1. 8.(Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ). Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности числа a (a может равняться ∞), за исключением a.
Кроме этого, пусть . Тогда, если Если правило Лопиталя, примененное к функциям f, g, не приводит к раскрытию неопределенности, то можно попробовать применить правило Лопиталя к производным f', g', а если необходимо, то и к f'', g'' и т.
Вид неопределенности Правило раскрытия 1. Чтобы раскрыть неопределенность видазаданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени. Правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. А на данный момент обещанные на уроке Способы решения пределов плюшки на смену переменной.
Перед вами примеры раскрытия всех неопределенностей: упрощение функций, первый и второй замечательные пределы, правило Лопиталя, эквивалентные бесконечно малые функции и другие. Основные неопределенности и способы их раскрытия..